Les dérivées avec Matlab

Laissez-moi vous montrer comment déterminer les dérivées en utilisant Matlab.

Alors, qu'est-ce qu'une dérivée exactement ? En fait, une dérivée d'une fonction mesure le taux de changement de cette fonction à chaque point de son domaine. C'est un outil extrêmement précieux pour comprendre le comportement d'une fonction, savoir si elle augmente ou diminue, et même trouver les points maximaux et minimaux de la fonction.

Les dérivées jouent aussi un rôle essentiel en analyse mathématique, ce qui en fait un concept fondamental à maîtriser.

Dérivée d'un polynôme

Pour déterminer la dérivée d'un polynôme, vous pouvez utiliser la fonction polyder()

polyder(y)

Le paramètre y de la fonction est un tableau contenant les coefficients numériques du polynôme.

Prenons un exemple concret.

Considérez ce polynôme :

$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$

Définissez un tableau avec les coefficients numériques du polynôme ordonnés par degré.

>> P = [2 0 4 3]

Remarque : Si cette dernière étape vous semble floue, je vous conseille de consulter le cours sur la définition d'un polynôme dans Matlab.

Maintenant, calculez la dérivée du polynôme avec la fonction polyder() :

>> polyder(P)

Le résultat est la première dérivée du polynôme.

ans = 6 0 4

Ainsi, la première dérivée du polynôme est :

$$ P'(x) = \frac{d \ P(x)}{dx} = 6x^2 + 4 $$

Vérification : Le polynôme est composé de la somme de monômes. Donc, pour calculer la dérivée du polynôme, il vous suffit de calculer la somme des premières dérivées des monômes individuels. $$ P'(x) = \frac{d \ ( 2x^3 + 4x + 3)}{dx} = \frac{ d \ 2x^3}{dx} + \frac{d \ 4x}{dx} + \frac{d \ 3}{dx} = 6x^2 + 4 + 0 $$

Et comment calculer la seconde dérivée ?

Pour déterminer la seconde dérivée du polynôme, vous pouvez répéter la fonction polyder() plusieurs fois sur le résultat :

>> d1=polyder(P);
>> d2=polyder(d1)

Ou bien, vous pouvez créer une fonction composite :

>> polyder(polyder(P))

Dans les deux cas, le résultat final est la seconde dérivée du polynôme.

ans = 12 0

La seconde dérivée du polynôme est :

$$ P''(x) = 12x $$

Avec la même technique, vous pouvez déterminer la troisième, quatrième ou nth dérivée du polynôme.

Trouver la dérivée d'une fonction

Pour calculer la dérivée d'une fonction avec une ou plusieurs variables, utilisez la fonction diff().

diff(fonction, variable, degré)

La fonction diff() a trois paramètres :

• Le premier est l'expression de la fonction.
• Le deuxième est la variable que vous souhaitez dériver (par exemple, x, y, etc.).
• Le troisième est le degré de dérivation (première dérivée, seconde dérivée, troisième dérivée, etc.).

Remarque : Les deuxième et troisième paramètres sont facultatifs. Si vous ne spécifiez pas la variable de dérivation dans le deuxième paramètre, la fonction diff() utilise par défaut le symbole de la variable x. Si vous ne spécifiez pas le degré de dérivation, la fonction diff() calcule la première dérivée par défaut. La fonction diff() repose sur un calcul symbolique, donc vous devez d'abord définir les variables comme des symboles via l'instruction syms.

Prenons un exemple pratique.

Considérez la fonction x³+x²+x avec une seule variable :

$$ f(x) = x^3 + x^2 + x $$

Définissez le symbole de la variable x :

syms x

Pour déterminer la première dérivée de la fonction, tapez :

diff(x^3+x^2+x,x,1)

La fonction a trois paramètres :

• Le premier (x^3+x^2+x) est l'expression de la fonction.
• Le deuxième (x) est la variable de dérivation.
• Le troisième (1) est le degré de dérivation.

Dans l'expression de la fonction, l'opérateur d'exponentiation est ^.

La fonction diff() détermine la première dérivée de la fonction par rapport à la variable x.

ans =

3*x^2 + 2*x + 1

Ainsi, la première dérivée de la fonction est :

$$ f'(x) = 3x^2 +2x+1 $$

Maintenant, calculons la seconde dérivée de la même fonction.

Pour ce faire, il suffit d'indiquer 2 dans le dernier paramètre de la fonction diff() :

diff(x^3+x^2+x,x,2)

Le résultat est la seconde dérivée de la fonction.

ans =

6*x + 2

Par conséquent, la seconde dérivée de la fonction est :

$$ f''(x) = 6x +2 $$

Maintenant, calculons la troisième dérivée.

Tapez la même fonction diff(), mais modifiez le dernier paramètre à 3.

diff(x^3+x^2+x,x,3)

Le résultat est la troisième dérivée de la fonction.

ans =

6

Par conséquent, la troisième dérivée de la fonction est :

$$ f^{(3)}(x) = 6x +2 $$

Dérivées partielles

Matlab vous permet également de déterminer les dérivées partielles d'une fonction.

Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ? Une dérivée partielle est une dérivée d'une fonction avec deux variables ou plus par rapport à une seule de ses variables, tout en gardant les autres variables constantes.

Par exemple, considérez cette fonction avec deux variables :

$$ f(x,y) = x^2 y^2 $$

Définissez les symboles pour les deux variables indépendantes x et y :

syms x y

Maintenant, déterminez la première dérivée partielle de la fonction x²y² par rapport à la variable x :

diff(x^2*y^2,x,1)

Le résultat est la première dérivée partielle de la fonction.

ans

2*x*y^2

Ainsi, la première dérivée partielle de la fonction par rapport à x est :

$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{\partial x} = 2xy^2 $$

Maintenant, déterminez la première dérivée partielle de la fonction x²y² par rapport à la variable y.

diff(x^2*y^2,y,1)

Le résultat est la première dérivée partielle de la fonction.

ans

2*x^2*y

Par conséquent, la première dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable y est

$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{ \partial y} = 2x^2y $$

En utilisant cette méthode, vous pouvez déterminer les dérivées partielles de n'importe quelle fonction avec deux variables ou plus dans Matlab.