Approximation rationnelle dans Matlab

Dans le cadre de cette leçon, nous allons nous pencher sur les mécanismes de l'approximation rationnelle et son application pratique au sein de Matlab.

Qu'entend-on par approximation rationnelle ? Il s'agit d'une technique numérique qui permet de représenter des nombres réels sous forme de fractions ou d'une somme de fractions, autrement dit, une expression rationnelle.

Pour recourir à l'approximation rationnelle, il suffit de saisir la commande rat().

rat(n)

où n désigne une valeur numérique réelle.

Quel est son principe de fonctionnement ?

L'approximation rationnelle transforme un nombre réel n en une somme de fractions.

• Si le nombre n est rationnel, la somme de fractions correspond exactement à ce nombre.
• Si n est irrationnel, alors cette somme représente une estimation de n.

Différencions maintenant les nombres réels rationnels des irrationnels. Les nombres réels se composent de nombres à valeurs positives ou négatives, avec ou sans virgule, tels que 3,3, 4,138, 5, etc. Ces nombres se classent en deux catégories : rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel, tel que 2,5, peut être exprimé comme le rapport de deux entiers m/q $$ n = \frac{m}{q} $$ À l'inverse, un nombre irrationnel, comme la valeur de π, n'est pas le résultat d'un tel rapport..

Prenons un exemple concret.

Essayons d'approximer le nombre 1.2 avec la fonction rat(1.2) dans Matlab.

>> rat(1.2)

Matlab propose une représentation du nombre sous forme de somme de fractions :

ans = 1 + 1/5

Dans cet exemple, la somme des fractions reflète précisément le nombre réel car 1,2 est un nombre rationnel.

1,2 est rationnel puisqu'il peut être représenté comme le rapport de deux entiers, soit 1.2 $$ 1.2 = \frac{12}{10}$$ ou encore comme 1+1/5 $$ 1.2 = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 $$

Abordons à présent l'approximation du nombre π, approximativement égal à 3,1416.

Utilisons la fonction "rat" de Matlab pour cela :

>> rat(3.1416)

Matlab fournit alors une approximation du nombre réel sous la forme d'une somme de fractions :

ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/11))

Ici, le résultat est une approximation rationnelle puisque π est un nombre irrationnel, qui ne peut être obtenu par le rapport de deux entiers.

Comment activer l'approximation rationnelle par défaut ?

Pour configurer Matlab afin qu'il utilise l'approximation rationnelle par défaut pour tous les résultats durant la session en cours, tapez la commande format rat

>> format rat

Dorénavant, tous les résultats seront affichés par défaut sous forme d'approximation rationnelle, même sans l'emploi explicite de la fonction "rat()".

Par exemple :

>> 3.3

ans = 33/10

Pour rétablir le format d'affichage standard, il vous suffit d'entrer la commande format.