Intégrale Indéfinie avec Matlab
Je vais vous présenter la manière dont on peut calculer des intégrales indéfinies à l'aide de Matlab, en adoptant une approche à la fois simple et intuitive.
Commençons par poser les bases. En mathématiques, l'intégrale indéfinie s'oppose à l'opération de dérivation. Une intégrale indéfinie est une fonction qui, une fois dérivée, nous rend la fonction d'origine. Elle s'écrit : $$ \int f(x) \ dx = F(x)+c $$ où le symbole ∫ représente l'intégration et c une constante arbitraire. En d'autres termes, l'intégrale indéfinie d'une fonction f(x) donne une fonction F(x) telle que sa dérivée est égale à f(x). $$ \frac{d \ F(x)+x}{dx} = f(x) $$
L'Intégrale d'un polynôme
Avec Matlab, l'intégration d'une fonction polynomiale se fait aisément grâce à la fonction "polyint".
polyint(P)
Celle-ci nécessite en entrée un tableau de coefficients numériques représentant le polynôme, classés par ordre décroissant des exposants.
Illustrons cela avec un exemple.
Prenez la fonction polynomiale
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Sa représentation sous forme de tableau est la suivante :
>> P = [2 0 4 3]
À noter que le premier coefficient du tableau représente le terme de degré le plus élevé et ainsi de suite.
L'intégrale indéfinie de P(x) s'obtient en invoquant la fonction polyint()
>> polyint(P)
Le résultat fourni, soit [0.5 0 2 3 0],
ans =
0.50000 0.00000 2.00000 3.00000 0.00000
représente les coefficients de la fonction intégrée :
$$ \int 2x^3 + 4x+3 \ dx = \frac{1}{2} x^4 + 2x^2 + 3x + c $$
La constante d'intégration c doit être ajoutée à la main.
Intégration d'une fonction générale
Pour intégrer une fonction quelconque avec Matlab, la fonction int() est préconisée.
int(f,dx)
Elle prend deux paramètres : "f", qui est la fonction à intégrer, et "dx", la variable d'intégration.
À noter que si "dx" n'est pas précisé, la variable par défaut est "x".
Considérez, par exemple, l'intégrale de la fonction f(x)=1/x :
$$ \int \frac{1}{x} \ dx $$
On déclare d'abord la variable :
>> syms x
Puis, on calcule l'intégrale :
>> int(1/x)
Le résultat est le logarithme népérien de x.
ans = log(x)
L'intégrale indéfinie de la fonction f=1/x est log(x).
$$ \int \frac{1}{x} \ dx = \log(x) + c $$
La constante "c" est considérée comme implicite et vous devez l'ajouter manuellement.
Et pour une fonction à deux variables ou plus ?
Pour une fonction de plusieurs variables, il convient de spécifier la variable d'intégration. Par exemple, pour la fonction f(x,y)=x2y2 et l'intégration selon y :
$$ \int x^2y^2 \ dy $$
On déclare les variables :
syms x y
Et on effectue l'intégration :
>> int(x^2*y^2,y)
Le résultat est la fonction primitive :
(x^2*y^3)/3
Ainsi, la solution à l'intégrale indéfinie est :
$$ \int x^2y^2 \ dy = \frac{x^3y^3}{3} $$
En suivant ces directives, Matlab devient un outil puissant pour le calcul d'intégrales.
J'espère que ces explications vous ont été bénéfiques et éclairantes.
