Valeurs propres d'une matrice dans Octave

Dans cette leçon, je vais vous expliquer comment calculer les valeurs propres d'une matrice dans Matlab.

Qu'est-ce que les valeurs propres ? Les valeurs propres correspondent aux solutions de l'équation caractéristique associée à une matrice carrée.

Prenons un exemple concret:

Créez une matrice carrée 2x2 et assignez-la à la variable M.

>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3

Entrez eig(M) dans la ligne de commande pour calculer les valeurs propres de la matrice carrée M.

>> eig(M)
ans =
1
3

Les valeurs propres de la matrice carrée M sont les scalaires 1 et 3.

Vérification : Nous allons vérifier si le résultat est correct. La matrice carrée utilisée dans cet exemple est la suivante : $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Le polynôme caractéristique PM(λ) de la matrice M est défini comme étant le déterminant de M-λ · Id $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ où M représente la matrice carrée, Id est une matrice identité de même ordre, et λ est une variable inconnue. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ L'équation caractéristique de la matrice est donnée par l'équation du polynôme caractéristique P (x) = 0 $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Les valeurs propres sont les solutions de l'équation caractéristique. Dans ce cas, il s'agit d'une équation du second degré. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ En conclusion, les valeurs propres de la matrice M sont les scalaires 1 et 3. Le résultat est correct.