Comment résoudre un système d'équations dans Octave

Au cours de cette leçon, je vais vous montrer comment aborder la résolution d'un système d'équations linéaires dans Octave, en utilisant le calcul matriciel et vectoriel. Laissez-moi vous guider à travers un exemple concret.

Prenons un système d'équations composé de deux équations linéaires à deux inconnues :

$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$

Il faut tout d'abord réécrire ce système sous la forme générale ax+by=c, ce qui donne

$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$

Ensuite, le système d'équations est converti en une équation vectorielle

$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

La première matrice est celle des coefficients des variables x et y.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

Pour définir cette matrice des coefficients dans Octave, on utilise A=[1,5; 2,-4]

>> A = [ 1 , 5 ; 2 , -4 ]
A =
1 5
2 --4

Le premier vecteur colonne représente les variables, c'est-à-dire les valeurs que nous cherchons à déterminer.

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Le second vecteur colonne regroupe les termes numériques.

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

On le déclare dans Octave de la manière suivante b=[3; -8]

>> b = [ 3 ; -8 ]
b =
3
-8

Sous forme vectorielle, le système d'équations s'exprime comme le produit d'une matrice et d'un vecteur

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Pour trouver les solutions du système d'équations, on détermine le vecteur x en tant que fonction des autres éléments

$$ \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} $$

Ici, A^-1 est l'inverse de la matrice des coefficients A.

Calculons maintenant l'expression A^-1·b dans Octave

>> inv(A)*b
ans =
-2
1

Le résultat donne les valeurs x et y du vecteur des variables

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Nous avons donc trouvé la solution du système d'équations

$$ x=-2 $$

$$ y=1 $$

En d'autres termes, le système d'équations a pour solution (x;y)=(-2;1).

Vérifions maintenant si cette solution est correcte. Insérons les valeurs x=-2 et y=1 dans le système d'équations $$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2 + 5 \cdot 1 =3 \\ \\ 2 \cdot (-2) -4 \cdot 1 =-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 =3 \\ \\ -8 =-8 \end{cases} $$ Les deux équations du système sont satisfaites, la solution x=-2 et y=1 est donc bien correcte.