Polynôme caractéristique avec Octave

Dans le cadre de cette leçon, je vais vous montrer comment déterminer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée en utilisant Octave.

Qu'est-ce qu'un polynôme caractéristique ? Il s'agit d'un polynôme que l'on peut calculer à partir d'une matrice carrée A, en utilisant cette formule :$$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ C'est le déterminant de la différence entre une matrice carrée A et une matrice d'identité Idn de même ordre (n), le tout multiplié par une variable lambda (λ). À quoi cela sert-il ? Le polynôme caractéristique joue un rôle crucial dans le calcul des valeurs propres.

Permettez-moi de vous donner un exemple pratique pour mieux comprendre.

Créons d'abord une matrice carrée dans la variable M :

>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1

Ici, nous avons une matrice 2x2 composée de deux lignes et deux colonnes.

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Ensuite, entrez la commande poly(M) pour obtenir le polynôme caractéristique de la matrice M :

>> poly(M)
ans =
1 -3 2

La réponse obtenue est une liste de chiffres : 1, -3, 2.

Ces chiffres sont les coefficients de la variable lambda (λ) dans le polynôme caractéristique :

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$

Remarque importante: les nombres dans cette liste sont les coefficients de la variable lambda (λ), présentés par ordre de degré décroissant. Ainsi, le dernier nombre de la séquence est le coefficient du terme de degré zéro (λ⁰), l'avant-dernier est le coefficient du terme de degré un (λ¹), et ainsi de suite.

$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$

$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Ce qui nous donne le polynôme caractéristique de la matrice M en tant que résultat final :

$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Vérifions maintenant notre travail. Pour calculer le polynôme caractéristique étape par étape, nous procédons comme suit : $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Le résultat final est correct. Il correspond au même polynôme caractéristique calculé avec la fonction poly(M).