Le calcul du rang d'une matrice dans Octave

Dans le cadre de cette leçon, nous allons nous pencher sur la manière de déterminer le rang d'une matrice à l'aide du logiciel Octave.

Mais tout d'abord, qu'entend-on par "rang" ? Le rang d'une matrice correspond au plus grand nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes présentes dans cette dernière. En d'autres termes, il s'agit de la dimension de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes. Prenons un exemple pour illustrer ce concept : considérons la matrice suivante, qui ne présente qu'une seule colonne linéairement indépendante $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ En effet, les deux vecteurs de la colonne sont linéairement dépendants l'un de l'autre. Chaque vecteur de la colonne peut ainsi être obtenu en tant que multiple de l'autre $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Pour rendre les choses plus concrètes, voyons un exemple pratique.

Supposons une matrice de dimension 3x3, composée de trois lignes et trois colonnes, et assignons-lui la variable M.

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Pour déterminer le rang de la matrice, nous utiliserons la fonction rank(M).

>> rank(M)
ans = 2

Le rang de cette matrice est donc égal à 2.

Pour valider ce résultat, procédons à une vérification. Le déterminant de notre matrice 3x3 est nul. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ De fait, la matrice ne peut pas avoir un rang égal à 3. Il nous faut donc examiner s'il existe une sous-matrice 2x2 au sein de la matrice dont le déterminant n'est pas nul. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Au moins une sous-matrice 2x2 présente un déterminant non nul. Par conséquent, nous pouvons affirmer que le rang de la matrice M est bel et bien égal à 2.