Opérations sur les matrices avec Matlab

Dans cette leçon, je vais expliquer comment réaliser des opérations sur les matrices en utilisant Matlab.

Tout d'abord, créez une matrice carrée M1 avec deux lignes et deux colonnes.

>> M1=[1 4;2 3]
M 1 =
1 4
2 3

Ensuite, créez une autre matrice carrée M2 avec deux lignes et deux colonnes.

>> M2=[3 1;7 5]
M2 =
3 1
7 5

Maintenant, avec ces deux matrices M1 et M2, passons à quelques exemples pratiques de calculs matriciels.

Addition de matrices

Pour effectuer l'addition de matrices, utilisez l'opérateur plus (+).

Tapez M1+M2

>> M1+M2
ans =
4 5
9 8

$$ M1 + M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 & 4+1 \\ 2+7 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} $$

Soustraction de matrices

Pour effectuer la soustraction de matrices, utilisez l'opérateur moins (-).

Tapez M1-M2

>> M1-M2
ans =
-2 3
-5 -2

$$ M1 - M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 4-1 \\ 2-7 & 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} $$

Multiplication de matrices

Pour effectuer la multiplication de matrices, utilisez l'opérateur de multiplication (*).

Tapez M1*M2

>> M1*M2
ans =
31 21
27 17

$$ M1 \cdot M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & 21 \\ 27 & 17 \end{pmatrix} $$

Notez que la multiplication matricielle est appelée multiplication ligne par colonne.

Vous ne pouvez effectuer la multiplication matricielle entre deux matrices que si le nombre de colonnes dans la première matrice (M1) est égal au nombre de lignes dans la seconde matrice (M2).

Multiplication élément par élément

La multiplication élément par élément calcule le produit des éléments qui se trouvent dans la même position.

C'est un type de multiplication matricielle différent de la multiplication ligne par colonne.

Pour effectuer la multiplication élément par élément, utilisez l'opérateur de multiplication par points (.*).

>> M1 .* M2
ans =
3 4
14 15

Dans la multiplication élément par élément, les deux matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

$$ M1 \ .* \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} $$

Multiplication d'une matrice par un scalaire

Pour calculer le produit d'une matrice et d'un scalaire, utilisez l'opérateur de multiplication (*).

Par exemple, pour entrer 2*M1

>> 2*M1
ans =
2 8
4 6

Les éléments de la matrice sont multipliés par le nombre scalaire 2.

$$ 2 \cdot M1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\4 & 6 \end{pmatrix} $$

Division de matrices

La division de matrices peut être réalisée en multipliant la première matrice par la matrice inverse de la seconde, M1·M2^-1.

Pour calculer la division de deux matrices dans Matlab, entrez M1*inv(M2)

>> M1*inv(M2)
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

Alternativement, vous pouvez également entrer M1/M2

Dans ce cas, Matlab effectue automatiquement l'inversion de la seconde matrice.

>> M1/M2
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

Le résultat final est toujours le même.

Division élément par élément des matrices

La division élément par élément calcule le quotient entre les éléments situés à la même position.

C'est un autre type de division matricielle.

Pour effectuer une division élément par élément, utilisez l'opérateur ./

>> M1 ./ M2
réponse =
0.33333 4.0000
0.28571 0.6000

Dans le cas de la division élément par élément, les deux matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

$$ M1 \ ./ \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{1} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.33333 & 0.28571 \\ 4 & 0.6 \end{pmatrix} $$

Division d'une matrice par un scalaire

Diviser une matrice par un scalaire se fait en utilisant l'opérateur de division (/).

Par exemple, pour diviser la matrice M1 par deux, entrez M1/2

>> M1/2
réponse =
0.50000 2.00000
1.00000 1.50000

Tous les éléments de la matrice M1 sont divisés par le nombre scalaire 2.

$$ \frac{M1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix} $$

Exponentiation élément par élément des matrices

Pour élever chaque élément d'une matrice à la même puissance

Par exemple, pour élever les éléments de la matrice M1 à la puissance de 2, tapez M1.^2

>> M1.^2
réponse =
1 16
4 9

$$ M1 \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} $$

Déterminant de matrice

Matlab possède une fonction spécifique pour calculer le déterminant d'une matrice carrée. C'est la fonction det().

Par exemple, pour calculer le déterminant de la matrice M1, tapez det(M1)

>> det(M1)
réponse = -5

$$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Rang de matrice

Pour trouver le rang d'une matrice, utilisez la fonction rank().

Par exemple, pour calculer le rang de la matrice M1, tapez rank(M1)

>> rank(M1)
réponse = 2

Le rang est égal à 2 car le déterminant de la matrice 2x2 n'est pas nul. $$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Trace de matrice

Pour calculer la trace d'une matrice, utilisez la fonction trace().

Par exemple, pour calculer la trace de la matrice M1, tapez trace(M1)

>> trace(M1)
réponse = 4

La trace d'une matrice est égale à la somme des éléments sur la diagonale principale. $$ \text{trace} (M1) = \text{trace} \begin{pmatrix} \color{red}1 & 4 \\ 2 & \color{red}3 \end{pmatrix} = 1 + 3 = 4 $$

Transposition d'une matrice

Pour transposer les lignes et les colonnes d'une matrice, utilisez la fonction transpose().

Par exemple, pour transposer la matrice M1, tapez transpose(M1)

>> transpose(M1)
réponse =
1 2
4 3

Alternativement, vous pouvez utiliser l'opérateur de transposition matricielle en ajoutant un apostrophe après le nom de la matrice.

>> M1'
réponse =
1 2
4 3

Dans une transposition de matrice, les lignes de la matrice deviennent des colonnes et vice versa. $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Inversion de matrice

Pour calculer l'inverse d'une matrice, utilisez la fonction inv().

Par exemple, pour calculer l'inverse de la matrice M1, tapez inv(M1)

>> inv(M1)
ans =
-0.60000 0.80000
0.40000 -0.20000

L'inverse de la matrice M1 est une matrice qui, multipliée par M1, donne une matrice identité. Une matrice identité est une matrice dont les éléments sont égaux à 1 sur la diagonale principale et 0 ailleurs. $$ M1 \cdot \text{inv}(M1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Le polynôme caractéristique

Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée, vous pouvez utiliser la fonction poly().

>> poly(M1)
ans =
1 -4 -5