Matrice Inverse sous Matlab

Dans ce tutoriel, nous allons explorer la méthode de calcul de la matrice inverse pour des matrices carrées ou rectangulaires à l'aide de Matlab.

Qu'est-ce qu'une matrice inverse ? On considère une matrice M comme inversible si et seulement si il existe une autre matrice, nommée matrice inverse M^-1, telle que le produit M \cdot M^{-1} aboutit à une matrice identité. La matrice identité est caractérisée par des 1 sur sa diagonale principale et des 0 dans les autres cases. Ainsi, nous avons $$ M \cdot M^{-1} = I $$

Illustrons ceci avec un exemple concret.

Commencez par définir une matrice carrée de deux lignes et deux colonnes.

>> M=[1 2;3 4]
M =
1 2
3 4

Calculons à présent la matrice inverse M^-1 de M en utilisant la fonction inv().

>> inv(M)
ans =
-2.00000 1.00000
1.50000 -0.50000

Multipliez ensuite la matrice M par son inverse inv(M).

Le résultat obtenu est une matrice identité.

>> M*inv(M)
ans =
1.00000 0.00000
0.00000 1.00000

La fonction inv() est appropriée pour calculer la matrice inverse uniquement lorsque M est carrée.

Remarque: Toutes les matrices carrées ne sont pas nécessairement inversibles. Par exemple, une matrice carrée dont le déterminant est nul ne peut être inversée et n'a donc pas de matrice inverse. Dans un tel cas, la fonction inv() renvoie un message d'erreur indiquant "Attention : la matrice est singulière à la précision de travail". Il est donc crucial, après avoir calculé la matrice inverse, de vérifier que le produit M*inv(M) correspond effectivement à une matrice identité.

Et pour les matrices rectangulaires, comment procède-t-on ?

Avec Matlab, il est également possible de calculer la matrice inverse d'une matrice rectangulaire.

Dans ce cas, il convient d'utiliser la fonction de pseudo-inverse pinv().

Prenons pour exemple la définition d'une matrice rectangulaire M2.

>> M2=[1 2 3 ; 4 5 6]
M2 =
1 2 3
4 5 6

Voici une matrice de dimension 2x3, avec deux lignes et trois colonnes.

Calculons maintenant la matrice inverse de M2 en utilisant la fonction pinv().

>> pinv(M2)
ans =
-0.94444 0.44444
-0.11111 0.11111
0.72222 -0.22222

Matlab fournit ainsi la matrice inverse de M2.

Pour confirmer qu'il s'agit bien de la matrice inverse, multipliez la matrice rectangulaire M2 par sa matrice inverse pinv(M2).

>> M2*pinv(M2)
ans =
1.00000 -0.00000
0.00000 1.00000

Le produit M2*pinv(M2) donne une matrice identité, ce qui confirme la justesse du résultat.

Note: Dans Matlab, la fonction pinv() permet de calculer la matrice inverse tant pour les matrices carrées que rectangulaires. Vous pouvez donc opter pour pinv() à la place de inv() même pour les matrices carrées, le résultat sera identique.

En revanche, inv() est exclusivement utilisable sur les matrices carrées.