Le polynôme caractéristique d'une matrice sous Matlab
Cette leçon est dédiée à l'explication du calcul du polynôme caractéristique d'une matrice sous Matlab.
Qu'est-ce que le polynôme caractéristique ? Il s'agit du déterminant résultant de la soustraction d'une matrice carrée A d'une matrice identité Idn de même dimensions (n), le tout multiplié par une variable lambda (λ). $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Cette opération est cruciale pour déterminer les valeurs propres de la matrice.
Abordons un exemple concret.
Commencez par créer une matrice carrée 2x2 dans la variable M.
>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1
Nous avons ici une matrice de deux lignes et deux colonnes.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Pour calculer le polynôme caractéristique de la matrice M, utilisez la fonction poly(M).
>> poly(M)
ans =
1 -3 2
Cette fonction nous retourne une série de coefficients : 1, -3, 2.
Ces nombres représentent les coefficients de la variable lambda (λ) dans le polynôme caractéristique, classés par ordre décroissant des puissances.
$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$
À noter : le dernier chiffre de la série correspond au coefficient de lambda à la puissance zéro (λ0), l'avant-dernier à lambda à la puissance un (λ1), et ainsi de suite.
$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$
$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Vous avez ainsi déterminé le polynôme caractéristique de la matrice M.
$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Contrôle : Vérifiez par vous-même en effectuant les calculs manuellement pour confirmer la justesse du résultat. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Vous retrouverez le même résultat que celui fourni par la fonction poly(M). Le résultat est donc correct.
