Calcul des valeurs propres avec Matlab
Dans ce cours, je vais vous guider à travers le processus de calcul des valeurs propres en utilisant Matlab.
Que sont les valeurs propres ? Les valeurs propres correspondent aux solutions de l'équation caractéristique d'une matrice carrée.
Illustrons cela par un exemple pratique.
Commencez par créer une matrice carrée de taille 2x2.
>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3
Pour déterminer les valeurs propres de cette matrice, il suffit d'appliquer la fonction eig(M).
>> eig(M)
ans =
1
3
Les valeurs propres de notre matrice carrée sont donc 1 et 3.
Validation. Examinons la matrice carrée M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Le polynôme caractéristique PM(λ) de M est obtenu en calculant le déterminant de M - λ·Id : $$ P_M(λ) = \det(M - \lambda \cdot Id) $$ où M représente notre matrice carrée, Id une matrice identité de même dimension, et λ une variable. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \times (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - 4\lambda + \lambda^2 $$ L'équation caractéristique de la matrice est PM(λ) = 0 : $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$ Les valeurs propres sont les racines de cette équation quadratique. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} $$ D'où : $$ \lambda_1 = \frac{2}{2} = 1, \ \lambda_2 = \frac{6}{2} = 3 $$ Ainsi, les valeurs propres de la matrice sont confirmées comme étant 1 et 3.
