Calcul du rang d'une matrice sous Matlab

Dans cette leçon, je vous guide à travers le processus de calcul du rang d'une matrice avec Matlab.

Qu'est-ce que le rang d'une matrice ? Le rang d'une matrice est défini comme étant le nombre maximal de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes qu'elle contient. Ce concept est crucial car il reflète la dimension de l'espace vectoriel formé par ses vecteurs colonnes. Prenons un exemple : une matrice dont toutes les colonnes ne sont pas linéairement indépendantes, à l'exception d'une seule, aura un rang de 1. Illustrons ceci : $$ rang \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Cette situation se présente lorsque les vecteurs colonnes sont dépendants l'un de l'autre, permettant l'expression de l'un comme un multiple de l'autre : $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Abordons maintenant un exemple concret.

Construisons une matrice 3x3, constituée de trois lignes et trois colonnes :

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Le rang de cette matrice se détermine aisément avec la commande rank(M).

>> rank(M)
ans = 2

Il en ressort que le rang de notre matrice est 2.

Validation du résultat. Une vérification manuelle peut être réalisée pour confirmer ce résultat. Considérons le déterminant d'une matrice 3x3 : $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Un déterminant nul implique que le rang ne peut être 3. Examinons ensuite l'existence d'une sous-matrice 2x2 dont le déterminant serait non nul. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \times 5 - 2 \times 4 = 5 - 8 = -3 $$ La présence de ce déterminant non nul confirme que le rang de la matrice M est effectivement 2.