La fonction expand() de Matlab

Permettez-moi de vous introduire à une fonction spécifique de Matlab: expand(). Celle-ci s'avère particulièrement utile lorsqu'on travaille avec des polynômes ou des expressions algébriques.

expand(x)

Pour utiliser expand(x), le principe est simple : développer un polynôme ou une expression algébrique.

Et pour cela, la syntaxe est épurée : il suffit d'invoquer la fonction en lui passant en paramètre l'expression à développer.

Il est toutefois primordial de noter que expand() opère via un calcul symbolique. Ainsi, avant toute opération, assurez-vous de définir les variables de votre polynôme ou expression comme des symboles.

À titre illustratif, examinons le carré du binôme suivant :

$$ (x+y)^2 $$

Ce binôme est constitué de deux termes.

Avant toute manipulation, nous devons déclarer x et y en tant que symboles.

>> syms x y

Puis, définissons notre binôme et attribuons-lui une variable,

>> P = (x+y)^2

Pour en obtenir le développement, il suffit d'utiliser expand().

>> expand(P)

Le résultat obtenu est le suivant :

ans =
x^2 + 2*x*y + y^2

Soit le développement attendu du carré du binôme :

$$ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 $$

Approfondissons avec un autre exemple. Prenons l'expression algébrique :

$$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 $$

Comme précédemment, déclarons d'abord x et y comme symboles.

>> syms x y

Ensuite, définissons notre expression.

>> E = (2*x+3*y)^3 + (4*x-2*y)^3

Et procédons à son expansion.

>> expand(E)

Le résultat s'affiche comme suit :

ans =
72*x^3 - 60*x^2*y + 102*x*y^2 + 19*y^3

Soit la forme développée de notre expression.

$$ 72x^3 - 60x^2y + 102xy^2 + 19y^3 $$

Vérification. Bien qu'il soit toujours possible de contrôler manuellement ces résultats, je tiens à souligner la précision de Matlab dans ces opérations. Le détail des étapes de calcul, présenté ci-après, confirme la justesse de notre résultat. $$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 = $$ $$ = (2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 + \\ \ \ \ +(4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (4x) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 $$ $$ = 8x^3+ 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 +64x^3 - 96 x^2y + 48xy^2 -8y^3 $$ $$ = (8x^3+64x^3)+ (36x^2y- 96 x^2y) + (54xy^2 + 48xy^2) + (27y^3-8y^3) $$ $$ = 72x^3 - 60 x^2y + 102xy^2+ 19y^3 $$