Opérations sur les Vecteurs dans Matlab

Dans cette leçon, je vais vous expliquer les principaux calculs vectoriels dans MATLAB en utilisant des exemples pratiques simples.

Tout d'abord, définissez un vecteur.

>> v=[1; 3; 4;]

Ensuite, définissez un autre vecteur dans le même espace.

>> w=[2; 1; -1]

Les deux vecteurs ont trois composants disposés verticalement, ils sont donc des vecteurs colonnes dans l'espace tridimensionnel (x, y, z).

Note. Dans ces exemples, je vous ai demandé de définir des vecteurs colonnes, mais vous pouvez également définir des vecteurs lignes. Les calculs vectoriels sont les mêmes, que les vecteurs soient des vecteurs lignes ou des vecteurs colonnes.

Voici quelques opérations mathématiques que vous pouvez effectuer avec ces deux vecteurs dans MATLAB.

Addition de Vecteurs

L'opérateur pour l'addition entre deux vecteurs est le signe plus (+).

Pour additionner les deux vecteurs dans MATLAB, tapez v + w

>> v+w
réponse =
3
4
3

$$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Soustraction de Vecteurs

L'opérateur pour la soustraction entre deux vecteurs est le signe moins (-).

Pour obtenir la différence entre deux vecteurs, tapez v - w

>> v-w
réponse =
-1
2
5

$$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Produit Scalaire de Vecteurs

L'opérateur pour la multiplication entre deux vecteurs est le signe astérisque (*).

Dans ce cas, vous avez défini deux vecteurs colonnes. Par conséquent, pour calculer le produit scalaire des deux vecteurs, vous devez transposer l'un des vecteurs en un vecteur ligne.

Pour transposer un vecteur, ajoutez une apostrophe à droite du nom du tableau.

Par exemple, multipliez le premier vecteur v par la transposée du second vecteur w'

>> v*w'
réponse =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

$$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

Vous pouvez également transposer le premier vecteur v' et le multiplier par le second vecteur w.

Cependant, souvenez-vous que la multiplication vectorielle ne respecte pas la propriété commutative. Ainsi, le produit v'*w est différent du produit v*w'.

>> v'*w
réponse = 1

$$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Multiplication élément par élément

La multiplication élément par élément est un autre type de multiplication vectorielle.

Dans ce cas, l'opération calcule le produit des éléments des deux vecteurs qui sont à la même position.

Pour effectuer une multiplication élément par élément dans Matlab, utilisez le symbole .* (point et astérisque).

>> v.*w
réponse =
2
3
-4

Dans la multiplication élément par élément, les vecteurs v et w doivent être soit des vecteurs lignes, soit des vecteurs colonnes.

De plus, les vecteurs v et w doivent avoir le même nombre de composants.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Multiplication d'un vecteur par un scalaire

Multiplier un vecteur par un scalaire utilise le même opérateur que la multiplication ordinaire, c'est-à-dire l'astérisque *

Le terme scalaire désigne ici n'importe quel nombre arbitraire.

Par exemple, pour multiplier le scalaire 2 par le vecteur v dans Matlab, tapez 2*v.

>> 2*v
réponse =
2
6
8

$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

La multiplication d'un vecteur par un scalaire obéit à la propriété commutative.

Ainsi, vous pouvez également écrire v*2. Le résultat est le même.

>> v*2
réponse =
2
6
8

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Division d'un vecteur par un scalaire

L'opérateur de division entre un vecteur et un scalaire est le symbole / (barre oblique).

Par exemple, pour diviser le vecteur v par le scalaire 2 dans Matlab, tapez v/2

>> v/2
réponse =
0.5
1.5
2.0

$$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Division élément par élément de vecteurs

La division élément par élément implique de diviser les éléments de deux vecteurs qui sont à la même position.

Pour effectuer ce type de division, utilisez le symbole ./ (point et barre oblique)

>> v./w
réponse =
0.5
3
-4

Les deux vecteurs dans la division élément par élément doivent être soit des vecteurs ligne, soit des vecteurs colonne.

De plus, les deux vecteurs doivent avoir le même nombre d'éléments.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Exponentiation élément par élément de vecteurs

Dans Matlab, vous pouvez également effectuer une exponentiation élément par élément.

Cette opération élève les éléments d'un vecteur à la même puissance (nombre scalaire).

Pour réaliser cette opération, utilisez l'opérateur .^

>> v.^2
réponse =
1
9
16

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$

Si l'exposant est également un vecteur, cette opération élève chaque élément du vecteur de base à l'élément du vecteur exposant qui est à la même position.

>> v.^w
réponse =
1
3
0.25

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \text{.^} \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^1 \\ 4^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0.25 \end{pmatrix} $$

Dans ce cas, les deux vecteurs doivent être soit des vecteurs ligne, soit des vecteurs colonne, et ils doivent avoir le même nombre d'éléments.

Norme d'un vecteur (Magnitude ou Longueur)

Pour calculer la norme euclidienne d'un vecteur, qui est la magnitude (longueur) du vecteur, utilisez la fonction norm().

>> norm(v)
réponse = 5.0990

$$ | \vec{v} | = \sqrt{1^2+3^2+4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} = 5,099 $$