Les opérations de calcul vectoriel en Octave

Dans cette leçon, je vais vous expliquer comment effectuer les principales opérations de calcul vectoriel en Octave avec quelques exemples pratiques.

Définissons un vecteur colonne dans un espace tridimensionnel.

>> v=[1; 3; 4;]

Définissons un autre vecteur colonne dans le même espace

>> w=[2; 1; -1]

Voici quelques opérations mathématiques entre les deux vecteurs

Somme de deux vecteurs

Pour additionner les deux vecteurs, tapez v+w

>> v+w
ans =
3
4
3

Explication. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Différence entre deux vecteurs

Pour soustraire les deux vecteurs, tapez v-w

>> v-w
ans =
-1
2
5

Explication. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Multiplication entre deux vecteurs

Pour multiplier deux vecteurs colonnes, vous devez transformer l'un des deux vecteurs en un vecteur ligne par une transposition.

Pour transposer un vecteur en Octave, il suffit d'ajouter un exposant à droite du nom de la variable du tableau.

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

Explication. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

La multiplication entre vecteurs ne respecte pas la propriété commutative. Par conséquent, multiplier v '* w retourne un résultat différent de v * w'

>> v'*w
ans = 1

Explication. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Multiplication of the vector element by element

C'est un autre type de multiplication vectorielle. La multiplication élément par élément calcule le produit des éléments de vecteurs dans la même position.

Pour effectuer ce type de multiplication, il faut utiliser le symbole de l'opérateur .*

>> v*w
ans =
2
3
-4

Dans la multiplication élément par élément, les deux vecteurs doivent être tous deux des vecteurs ligne (ou tous deux des vecteurs colonne) et avoir la même taille.

Explication. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Multiplication du vecteur par un scalaire

Pour multiplier un vecteur par un nombre scalaire, par exemple k = 2, il suffit d'écrire 2*v

>> 2*v
ans =
2
6
8

Explication. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

Division du vecteur par un scalaire

De même, vous pouvez diviser le vecteur par un scalaire

>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0

Explication. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Dans ces exemples, j'ai utilisé des vecteurs colonne, mais les indications sont valables même si vous utilisez des vecteurs ligne.

Division du vecteur élément par élément

C'est un autre type de division entre deux vecteurs. La division élément par élément calcule le quotient des éléments des vecteurs dans la même position.

Pour effectuer ce type de division, il faut utiliser le symbole de l'opérateur ./

>> v./v
ans =
0.5
3
-4

Dans la division élément par élément, les deux vecteurs doivent être tous deux des vecteurs ligne (ou tous deux des vecteurs colonne) et avoir la même taille.

Explication. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Exponentiation de l'élément du vecteur élément par élément

L'exponentiation élément par élément élève les éléments du vecteur à la même exponentielle.

Pour effectuer ce type d'opération, vous devez utiliser le symbole de l'opérateur .^

>> v.^2
ans =
1
9
16

Dans l'exponentiation élément par élément, les deux vecteurs doivent tous deux être des vecteurs ligne (ou tous deux des vecteurs colonne) et avoir la même taille.

Explication. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$